走进数学为陈省身猜想而努力记北京师范大学数(2)

葛建全和导师唐梓洲在Crelle杂志共同发表的文章中，叙述了他们首次对怪球上的等参理论的研究。至今未解的一个世界难题光滑庞加莱（Poincaré）猜想：4维球面没有怪球。“如果我们总能在拓扑球面上找到一个等参函数，就可以推理出4维球面没有怪球，从而证明光滑庞加莱猜想”。这是因为他们证明了：4维“怪球”上不存在等参函数。这一论断受到业界专家的高度肯定，该领域顶尖专家Miyaoka和Chi在多个场合介绍引用，被Cecil和Ryan，Berndt，Console和Olmos等人的著名专著中多次引用。

为了让研究更深一步，葛建全和Radeschi研究了4维流形的奇异黎曼分层。等参是奇异黎曼分层的特殊情形，他们完全分类了带奇异黎曼分层的4维单连通闭流形和其上的等参分层。这样，4维“怪球”上不存在奇异黎曼分层的发现，实际推广了上述“关于光滑庞加莱猜想”的进展结果。4维单连通闭流形上的等参分层的完全分类，也是目前关于等参分类问题在固定维数时的最佳完整结果。另外，在下述意义下葛建全彻底解决了怪球中的等参分类问题，即他建立了怪球的等参分层与标准球的等参分层之间的一一对应；并深入研究标准球在一般度量下的等参分类问题，构造了许多新例子；应用等参理论得到球面中超曲面上的许多微分结构。2017年葛建全与导师唐梓洲及师妹彦文娇教授合作，把自己的两条研究主线——D D V V型不等式与等参理论结合起来，对等参焦流形的法数量曲率给了精致的估计，并对其中取到不等式等号的焦流形子集做了完整分类。上述相关成果都已发表在、Advance in Math.和IMRN。2018年葛建全与导师唐梓洲合作，把等参理论应用于研究广义的Hilbert第17问题，完全解决了其在等参情形的非负多项式是否是多项式的平方和问题。

葛建全在学术界声名鹊起，他因此应邀在2014年、2015年第10届、11届中日几何会议，2015年清华大学三亚青年几何分析国际论坛、2015年微分几何与微分方程国际会议、2018年子流形几何拓扑年会、2019年巴西微分几何国际会议、2019年几何分析年会、2019年现代几何潮流国际会议等国内外大型学术会议上报告了这些等参理论相关的研究成果。

虽然数学猜想的结论不一定正确，但作为一种创造性的思维活动，这是科学发现的一种重要方法。在这条孤寂的路上，无数数学家乐此不疲。

用数学的研究发现世界

数学不同于其他科学，范围大、难题多。有人把数学比喻为一棵树，树上有很多分枝，就像代数、几何等不同的学科。葛建全的研究领域是微分几何，再往下细分就是“子流形的几何与拓扑”方向。

微分几何学主要研究流形的几何拓扑性质。其中，黎曼流形最重要的内蕴几何量就是其各种曲率，研究这些曲率对流形拓扑的限制是微分几何的重点研究领域。葛建全说：“Hopf两个著名的猜想就是关于截面曲率对拓扑的限制这方面。”与此同时，子流形几何是微分几何的重要部分，其中几何学家们研究更多的是一些特殊黎曼流形的特殊子流形，比如，单位球面。他特别提到，等参超曲面是单位球面中仅有的常数量曲率极小超曲面的例子，而这就是著名的陈省身猜想所断言的。至今为止，许许多多的几何学家致力于证明这个猜想，包括彭家贵、唐梓洲等都对此问题做出部分进展，但目前仍远未解决。

另外，等参超曲面可以通过等参函数的概念定义在一般黎曼流形上。在这个意义上，单位球面中的等参理论及其研究方法已经取得了成功的发展并获得广泛应用。因而，近几年来，研究一般流形上的等参理论及其应用开始被人们所关注。

找准方向就该锲而不舍地研究下去。2019年9月，葛建全作为项目负责人，成功申报了北京市自然科学基金重点研究专项“子流形与亚历山大空间的几何与拓扑”。他表示，在随后的4年里，北京师范大学、首都师范大学和清华大学几何领域的教授们将携手开展这一分支领域的研究。

在他看来，流形的几何和拓扑是微分几何的核心，而子流形与亚历山大空间的几何与拓扑恰是基于著名数学家嘉当（几何）和庞加莱猜想（拓扑）的背景下。另外，“数学王子”高斯、诺奖获得者纳什、国际数学联盟主席Hopf、“数学怪才”Perelman、数学大师陈省身等都投身于这一方向。

沿着科研的思路，葛建全将这一项目分为两个课题展开研究。其一是等参子流形的分类问题及其应用，其二是曲率有下界流形和Alexandrov空间的几何拓扑。对每个课题想解决的问题，他都了然于心。他告诉记者：“在第一个课题中，他们想解决3个问题：第一个是球面中等参分层结构在一般度量下的分类问题，第二个是等参函数方程的可解性问题，第三个是等参理论的深入研究及其推广和应用。而对于第二个课题，同样需要解决两大难题，第一要研究Ricci曲率有下界流形的塌缩结构，第二要研究Alexandrov几何中灵魂猜想的高维情形。”

文章来源：《哈尔滨师范大学社会科学学报》 网址: http://www.hebsfdxshkxxb.cn/qikandaodu/2021/0619/1310.html